數(shù)據(jù)庫的關(guān)系運(yùn)算中，專門的關(guān)系運(yùn)算包括選擇，投影，連接和除。本文講解一下除運(yùn)算的原理。

在講解除運(yùn)算之前，先介紹一下象集的概念。

關(guān)于像集的概念：

給定一個(gè)關(guān)系R（X,Z），X和Z為屬性組，當(dāng)t[X] = x時(shí)，x在R中的像集（Images Set）為：

Z_X={t[Z]|t∈R，t[X] = x}

它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Z上分量的集合。

關(guān)系除運(yùn)算的定義：

關(guān)系的除運(yùn)算是同時(shí)從關(guān)系的水平方向和垂直方向上進(jìn)行的運(yùn)算。假設(shè)關(guān)系R（X,Y）和S（Y,Z），X、Y、Z為屬性組。R÷S應(yīng)當(dāng)滿足元組在X上的分量值X的像集YX包含關(guān)系S在屬性組Y上投影的集合。其形式定義為：

R÷S = {t_n[X]|t_n∈R^π_Y(S)⊆Y_X}

R與S的除運(yùn)算得到一個(gè)新的關(guān)系P（X），P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：

關(guān)系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z為屬性組（R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集）；

元組在X上的分量值X 的像集YX包含S在Y上的投影。

下面以一個(gè)例子來說明：

假設(shè)關(guān)系R和S如下：

計(jì)算R÷S的過程：

a1的象集為{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}

a2的象集為{(b3,c7),(b2,c3)}

a3的象集為{(b4,c6)}

a4的象集為{(b6,c6)}

S在（B，C）上的投影為：

{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}

因?yàn)橹挥衋1的象集包含了S在（B，C）屬性組上的投影，故R÷S={a1}，即：

R÷S的結(jié)果為：