泊松分布（Poisson Distribution）是一種離散型概率分布。泊松分布是描述某一特定時(shí)間或空間段內(nèi)，某一事件發(fā)生的次數(shù)的分布。如機(jī)器每周發(fā)生故障的次數(shù)，某醫(yī)院婦產(chǎn)科2小時(shí)內(nèi)出生的嬰兒個(gè)數(shù)，某服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的顧客次數(shù)等。

一、泊松分布律

泊松（Poisson）分布的分布律為：

其中，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為或。

這里的P即為等同區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生k次的概率；

X：事件次數(shù)的變量；

k:事件發(fā)生的次數(shù)，取值為0,1,2,3...

λ：區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)（數(shù)學(xué)期望）

同時(shí)，顯然有：

二、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差

三、適用條件

（1）事件發(fā)生是小概率事件；

（2）事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的；

（3）事件在任意兩個(gè)等同的區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率是穩(wěn)定的。

四、泊松分布的特征

（1）泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。

（2）λ是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小，分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對(duì)稱。

（3）當(dāng)λ = 20時(shí)，泊松分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)λ = 50時(shí)，可以認(rèn)為泊松分布呈正態(tài)分布。在實(shí)際工作中，當(dāng)λ≥20時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。

五、R語言中的相關(guān)函數(shù)與實(shí)例

1、相關(guān)函數(shù)

在R中，pois表示泊松分布，加上不同的前綴表示不同的函數(shù)，加上前綴d表示概率密度函數(shù)，加上前綴p表示分布函數(shù)，加前綴q表示分位函數(shù)，加前綴r表示隨機(jī)生成數(shù)，各函數(shù)的語法格式如下：

dpois( x, lambda, log = FALSE )   #發(fā)生x次隨機(jī)事件的概率

ppois( q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE ) # 至多發(fā)生q次事件的累計(jì)概率

qpois( p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE ) #在p概率下事件發(fā)生的次數(shù)

rpois( n, lambda ) #重復(fù)n組試驗(yàn)，每組發(fā)生隨機(jī)事件的次數(shù)

函數(shù)中各參數(shù)的含義：

• x ：非負(fù)整數(shù)向量，事件發(fā)生的次數(shù)；
• q：數(shù)值向量；
• p：概率值向量
• n：整數(shù)值，隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)；
• lambda：非負(fù)數(shù)值，事件發(fā)生的平均次數(shù)；
• log,log.p：邏輯值，如果為TRUE，則概率p以log(p)的形式給出
• lower.tail：邏輯值，如果為TRUE（默認(rèn)值），則概率是p[x≤ x],若為 FALSE 則為p[X>x]。

幾點(diǎn)說明：

（1）若x為非整數(shù)，dpois 的結(jié)果將會(huì)使0，并給出一個(gè)警告錯(cuò)誤；

（2）分位數(shù)是右連續(xù)的，qpois(p, lambda) 表示x是最小整數(shù)的情況：P(X ≤ x) ≥ p；

（3）設(shè)置lower.tail = FALSE，可以得到更加精確的結(jié)果，而lower.tail = TRUE將返回1；

（4）無效的lambda值，將會(huì)返回NaN，并給出警告錯(cuò)誤。

2、使用示例

（1）某銀行，顧客到達(dá)柜臺(tái)的平均值是5分鐘3.2名，計(jì)算：①接下來5分鐘內(nèi)，有0名顧客、1名顧客和2名顧客到達(dá)的概率分別是多少？②在5分鐘內(nèi)至多有7名顧客到達(dá)的概率是多少？③在5分鐘內(nèi)有7名以上顧客到達(dá)的概率是多少？④在90%的概率下，5分鐘內(nèi)至多有幾名顧客到達(dá)？

編寫R程序如下：

lmbda <- 3.2
# 5分鐘內(nèi)0名、1名、2名顧客的概率
dpois(0:2, lmbda)

# 5分鐘至多7名顧客的概率
ppois(7, lmbda)

# 5分鐘有7名以上顧客到達(dá)的概率
1 - ppois(7, lmbda)

# 90%概率下，5分鐘內(nèi)至多有幾名顧客到達(dá)
qpois(0.9,  lmbda)

運(yùn)行結(jié)果如下圖所示：

（2）某工廠某種設(shè)備每周的平均故障臺(tái)數(shù)為2.3臺(tái)，求下周該設(shè)備沒有發(fā)生故障的概率，下周至多有3臺(tái)發(fā)生故障的概率；重復(fù)模擬10組試驗(yàn)，每組發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)是多少

編寫R程序如下：

lambda <- 2.3
# 下周沒有設(shè)備發(fā)生故障的概率
dpois(0, lambda)

#下周至多有3臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率
ppois(3, lambda)

#重復(fù)1000組試驗(yàn)，每組發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)
rpois(10, lambda)

在R中運(yùn)行的結(jié)果如下圖所示：

我們也可以使用R繪制出泊松分布的概率密度圖，下例演示了均值為2，重復(fù)1000次情況下的直方圖。

x <- rpois(1000, 2)
hist(x)

繪圖結(jié)果之一如下（因?yàn)殡S機(jī)生成，每次的結(jié)果并不一定相同）：

本文（完）