雙因素方差分析就是考慮兩個因素的方差分析，兩個因素可以稱之為因素A和因素B，設因素A有r個水平A1，A2，...，Ar，因素B有s個水平B1，B2，...，Bs.

雙因素方差分析有兩種類型：

一種是無交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的，不存在相互關系；

另一種是有交互作用的方差分析，它假定A、B兩個因素不是獨立的，而是相互起作用的，兩個因素同時起作用的結果不是兩個因素分別作用的簡單相加，兩者的結合會產生一個新的效應。

這種效應的最典型的例子是，耕地深度和施肥量都會影響產量，但同時深耕和適當的施肥可能使產量成倍增加，這時，耕地深度和施肥量就存在交互作用。兩個因素結合后就會產生出一個新的效應，屬于有交互作用的方差分析問題。

本文首先探討一下無交互作用的雙因素方差分析相關問題。

無交互作用的雙因素方差分析的數據結構表如下：

分析的步驟

（1）提出假設

對因素A提出的假設為：
H0: μ1 = μ2 = … = μi = …= μr  (μi為第i個水平的均值)
H1: μi (i =1,2, … , r) 不全相等
對因素B提出的假設為：
H0: μ1 = μ2 = … = μj = …= μs (μj為第j個水平的均值)
H1: μj (j =1,2,…,s) 不全相等

（2）構造檢驗統計量

總離差平方和：

因素A的離差平方和SSA：

因素B的離差平方和SSB：

誤差項平方和SSE：

各平方和的關系：

SST = SSA + SSB + SSE

（3）計算均方MS

因素A的均方：

因素B的均方：

隨機誤差項的均方：

（4）計算檢驗統計量F

（5）統計決策

將統計量的值F與給定的顯著性水平α的臨界值Fα進行比較，作出接受或拒絕原假設H0的決策：

根據給定的顯著性水平α在F分布表中查找相應的臨界值 Fα

若FA≥ Fα，則拒絕原假設H0，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗的因素(A)對觀察值有顯著影響

若FB≥Fα，則拒絕原假設H0，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗的因素(B)對觀察值有顯著影響

無交互作用的方法分析表如下：

R語言中進行無交互作用的雙因素方差分析的方法

在R語言中，無交互作用的雙因素方差分析方法與單因素方差分析所使用的函數相同，即aov函數和summary函數。

下面舉例子來說明：

例1：某產品銷售量是否與銷售方式和銷售地點有關

某公司想知道產品銷售量與銷售方式及銷售地點是否有關，隨機抽樣得表中資料，以0.05的顯著性水平進行檢驗。

 在R中編寫程序如下所示：

#無重復作用的雙因素方差分析
#定義銷售量向量
X<-c(77,86,81,88,83,95,92,78,96,89,71,76,68,81,74,80,84,79,70,82)
A<-gl(4,5) #銷售方式四種
B<-gl(5,1,20) #銷售地點五個

sales<-data.frame(X,A,B) #創建數據框

sales.aov<-aov(X~A+B,data =sales)
summary(sales.aov)

運行結果如下圖所示：

從分析結果來看，銷售方式的P值=0.00325<0.05，則認為因素A不同銷售方式對銷售量有顯著影響，而銷售地點的P值=0.28814>0.5，沒有充分理由說明銷售地點對銷售量有影響。

例2：食品包裝和銷售地區對某商品銷售量是否有影響

為研究食品的包裝和銷售地區對其銷售量是否有影響，在某周的三個不同地區中用三種不同包裝方法進行銷售，獲得的銷售量數據如下表。

檢驗不同的地區和不同的包裝方法對該食品的銷售量是否有顯著影響？ (α=0.05)

 在R中編寫程序如下：

X<-c(45,75,30,40,50,50,40,48,35,65,50,53)
A<-c(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3)
#或者A<-gl(4,4)

B<-rep(c(1:4),3)
#或者B<-gl(4,1,12)

dat<-data.frame(X,A,B)

re<-aov(X~A+B,data=dat)

summary(re)

分析結果如下：

從分析結果來看，因素A和因素B的P值均大于0.05，則可以認為因素A和因素B對食品銷售量沒有影響。