對C語言中遞歸算法的深入解析

2020-01-26 15:59:57

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供稿：網(wǎng)友

許多教科書都把計算機階乘和菲波那契數(shù)列用來說明遞歸，非常不幸我們可愛的著名的老潭老師的《C語言程序設(shè)計》一書中就是從階乘的計算開始的函數(shù)遞歸。導致讀過這本經(jīng)書的同學們，看到階乘計算第一個想法就是遞歸。但是在階乘的計算里，遞歸并沒有提供任何優(yōu)越之處。在菲波那契數(shù)列中，它的效率更是低的非常恐怖。

這里有一個簡單的程序，可用于說明遞歸。程序的目的是把一個整數(shù)從二進制形式轉(zhuǎn)換為可打印的字符形式。例如：給出一個值4267，我們需要依次產(chǎn)生字符‘4'，‘2'，‘6'，和‘7'。就如在printf函數(shù)中使用了%d格式碼，它就會執(zhí)行類似處理。

我們采用的策略是把這個值反復除以10，并打印各個余數(shù)。例如，4267除10的余數(shù)是7，但是我們不能直接打印這個余數(shù)。我們需要打印的是機器字符集中表示數(shù)字‘7'的值。在ASCII碼中，字符‘7'的值是55，所以我們需要在余數(shù)上加上48來獲得正確的字符，但是，使用字符常量而不是整型常量可以提高程序的可移植性。‘0'的ASCII碼是48，所以我們用余數(shù)加上‘0'，所以有下面的關(guān)系：

          ‘0'+ 0 =‘0'
          ‘0'+ 1 =‘1'
          ‘0'+ 2 =‘2'
      　　　    ...
從這些關(guān)系中，我們很容易看出在余數(shù)上加上‘0'就可以產(chǎn)生對應(yīng)字符的代碼。接著就打印出余數(shù)。下一步再取商的值，4267/10等于426。然后用這個值重復上述步驟。

這種處理方法存在的唯一問題是它產(chǎn)生的數(shù)字次序正好相反，它們是逆向打印的。所以在我們的程序中使用遞歸來修正這個問題。

我們這個程序中的函數(shù)是遞歸性質(zhì)的,因為它包含了一個對自身的調(diào)用。乍一看，函數(shù)似乎永遠不會終止。當函數(shù)調(diào)用時，它將調(diào)用自身，第2次調(diào)用還將調(diào)用自身，以此類推，似乎永遠調(diào)用下去。這也是我們在剛接觸遞歸時最想不明白的事情。但是，事實上并不會出現(xiàn)這種情況。

這個程序的遞歸實現(xiàn)了某種類型的螺旋狀while循環(huán)。while循環(huán)在循環(huán)體每次執(zhí)行時必須取得某種進展，逐步迫近循環(huán)終止條件。遞歸函數(shù)也是如此，它在每次遞歸調(diào)用后必須越來越接近某種限制條件。當遞歸函數(shù)符合這個限制條件時，它便不在調(diào)用自身。

在程序中，遞歸函數(shù)的限制條件就是變量quotient為零。在每次遞歸調(diào)用之前，我們都把quotient除以10，所以每遞歸調(diào)用一次，它的值就越來越接近零。當它最終變成零時，遞歸便告終止。

/*接受一個整型值（無符號0，把它轉(zhuǎn)換為字符并打印它，前導零被刪除*/

復制代碼代碼如下:

#include <stdio.h>

int binary_to_ascii( unsigned int value)
{
          unsigned int quotient;

   　　quotient = value / 10;
   　　if( quotient != 0)
       　　　　binary_to_ascii( quotient);
   　　putchar ( value % 10 + '0' );
}

遞歸是如何幫助我們以正確的順序打印這些字符呢？下面是這個函數(shù)的工作流程。
1. 將參數(shù)值除以10
2. 如果quotient的值為非零，調(diào)用binary-to-ascii打印quotient當前值的各位數(shù)字
3. 接著，打印步驟1中除法運算的余數(shù)

注意在第2個步驟中，我們需要打印的是quotient當前值的各位數(shù)字。我們所面臨的問題和最初的問題完全相同，只是變量quotient的值變小了。我們用剛剛編寫的函數(shù)（把整數(shù)轉(zhuǎn)換為各個數(shù)字字符并打印出來）來解決這個問題。由于quotient的值越來越小，所以遞歸最終會終止。

一旦你理解了遞歸，閱讀遞歸函數(shù)最容易的方法不是糾纏于它的執(zhí)行過程，而是相信遞歸函數(shù)會順利完成它的任務(wù)。如果你的每個步驟正確無誤，你的限制條件設(shè)置正確，并且每次調(diào)用之后更接近限制條件，遞歸函數(shù)總是能正確的完成任務(wù)。

但是，為了理解遞歸的工作原理，你需要追蹤遞歸調(diào)用的執(zhí)行過程，所以讓我們來進行這項工作。追蹤一個遞歸函數(shù)的執(zhí)行過程的關(guān)鍵是理解函數(shù)中所聲明的變量是如何存儲的。當函數(shù)被調(diào)用時，它的變量的空間是創(chuàng)建于運行時堆棧上的。以前調(diào)用的函數(shù)的變量扔保留在堆棧上，但他們被新函數(shù)的變量所掩蓋，因此是不能被訪問的。

當遞歸函數(shù)調(diào)用自身時，情況于是如此。每進行一次新的調(diào)用，都將創(chuàng)建一批變量，他們將掩蓋遞歸函數(shù)前一次調(diào)用所創(chuàng)建的變量。當我追蹤一個遞歸函數(shù)的執(zhí)行過程時，必須把分數(shù)不同次調(diào)用的變量區(qū)分開來，以避免混淆。

程序中的函數(shù)有兩個變量：參數(shù)value和局部變量quotient。下面的一些圖顯示了堆棧的狀態(tài)，當前可以訪問的變量位于棧頂。所有其他調(diào)用的變量飾以灰色的陰影，表示他們不能被當前正在執(zhí)行的函數(shù)訪問。

假定我們以4267這個值調(diào)用遞歸函數(shù)。當函數(shù)剛開始執(zhí)行時，堆棧的內(nèi)容如下圖所示：

執(zhí)行除法之后，堆棧的內(nèi)容如下：

接著，if語句判斷出quotient的值非零，所以對該函數(shù)執(zhí)行遞歸調(diào)用。當這個函數(shù)第二次被調(diào)用之初，堆棧的內(nèi)容如下：

堆棧上創(chuàng)建了一批新的變量，隱藏了前面的那批變量，除非當前這次遞歸調(diào)用返回，否則他們是不能被訪問的。再次執(zhí)行除法運算之后，堆棧的內(nèi)容如下：

quotient的值現(xiàn)在為42，仍然非零，所以需要繼續(xù)執(zhí)行遞歸調(diào)用，并再創(chuàng)建一批變量。在執(zhí)行完這次調(diào)用的出發(fā)運算之后，堆棧的內(nèi)容如下：

此時，quotient的值還是非零，仍然需要執(zhí)行遞歸調(diào)用。在執(zhí)行除法運算之后，堆棧的內(nèi)容如下：

不算遞歸調(diào)用語句本身，到目前為止所執(zhí)行的語句只是除法運算以及對quotient的值進行測試。由于遞歸調(diào)用這些語句重復執(zhí)行，所以它的效果類似循環(huán)：當quotient的值非零時，把它的值作為初始值重新開始循環(huán)。但是，遞歸調(diào)用將會保存一些信息（這點與循環(huán)不同），也就好是保存在堆棧中的變量值。這些信息很快就會變得非常重要。

現(xiàn)在quotient的值變成了零，遞歸函數(shù)便不再調(diào)用自身，而是開始打印輸出。然后函數(shù)返回，并開始銷毀堆棧上的變量值。

每次調(diào)用putchar得到變量value的最后一個數(shù)字，方法是對value進行模10取余運算，其結(jié)果是一個0到9之間的整數(shù)。把它與字符常量‘0'相加，其結(jié)果便是對應(yīng)于這個數(shù)字的ASCII字符，然后把這個字符打印出來。

輸出4：

接著函數(shù)返回，它的變量從堆棧中銷毀。接著，遞歸函數(shù)的前一次調(diào)用重新繼續(xù)執(zhí)行，她所使用的是自己的變量，他們現(xiàn)在位于堆棧的頂部。因為它的value值是42，所以調(diào)用putchar后打印出來的數(shù)字是2。

輸出42：

接著遞歸函數(shù)的這次調(diào)用也返回，它的變量也被銷毀，此時位于堆棧頂部的是遞歸函數(shù)再前一次調(diào)用的變量。遞歸調(diào)用從這個位置繼續(xù)執(zhí)行，這次打印的數(shù)字是6。在這次調(diào)用返回之前，堆棧的內(nèi)容如下：

輸出426：

現(xiàn)在我們已經(jīng)展開了整個遞歸過程，并回到該函數(shù)最初的調(diào)用。這次調(diào)用打印出數(shù)字7，也就是它的value參數(shù)除10的余數(shù)。

輸出4267：

然后，這個遞歸函數(shù)就徹底返回到其他函數(shù)調(diào)用它的地點。
如果你把打印出來的字符一個接一個排在一起，出現(xiàn)在打印機或屏幕上，你將看到正確的值：4267
使用遞歸一定要有跳出的條件:
這是一個最簡單的遞歸, 不過它會一直執(zhí)行, 可用 Ctrl+C 終止.

復制代碼代碼如下:

#include <stdio.h>
void prn(int num) {
    printf("%d/n", num);
    if (num > 0) prn(--num);  
}
int main(void)
{
    prn(9);
    getchar();
    return 0;
}

復制代碼代碼如下:

實例: 翻轉(zhuǎn)字符串
#include <stdio.h>
void revers(char *cs);
int main(void)
{
    revers("123456789");
    getchar();    
    return 0;
}
void revers(char *cs)
{
    if (*cs)
    { 
        revers(cs + 1);
        putchar(*cs);
    }
}

復制代碼代碼如下:

實例: 階乘
#include <stdio.h>
int factorial(int num);
int main(void)
{
    int i;
    for (i = 1; i <= 9; i++)
    printf("%d: %d/n", i, factorial(i));
    getchar();    
    return 0;
}
int factorial(int num)
{
    if (num == 1)
        return(1);
    else
        return(num * factorial(num-1));
}

復制代碼代碼如下:

實例: 整數(shù)到二進制
#include <stdio.h>
void IntToBinary(unsigned num);
int main(void)
{
    IntToBinary(255); /* 11111111 */
    getchar();
    return 0;
}
void IntToBinary(unsigned num) {
    int i = num % 2;
    if (num > 1) IntToBinary(num / 2);
    putchar(i ? '1' : '0'); 
//    putchar('0' + i);  /* 可代替上面一句 */
}

復制代碼代碼如下:

剖析遞歸:
#include <stdio.h>
void prn(unsigned n);
int main(void)
{
    prn(1);
    getchar();
    return 0;
}
void prn(unsigned n) {
    printf("%d: %p/n", n, &n);  /* A */
    if (n < 4) 
        prn(n+1);               /* B */
    printf("%d: %p/n", n, &n);  /* C */
}

例輸出效果圖:

分析:
程序運行到 A, 輸出了第一行.
此時 n=1, 滿足 < 4 的條件, 繼續(xù)執(zhí)行 B 開始了自調(diào)用(接著會輸出第二行); 注意 n=1 時語句 C 還有待執(zhí)行.
...如此循環(huán), 一直到 n=4, A 可以執(zhí)行, 但因不滿足條件 B 執(zhí)行不了了; 終于在 n=4 時得以執(zhí)行 C.
但此時內(nèi)存中有四個函數(shù)都等待返回(分別是 n=1、2、3、4 時), 咱們分別叫它 f1、f2、f3、f4.
f4 執(zhí)行 C 輸出了第五行, 函數(shù)返回, 返回給 f3(此時 n=3), f3 得以繼續(xù)執(zhí)行 C, 輸出了第六行.
f3 -> f2 -> 繼續(xù) C, 輸出了第七行.
f2 -> f1 -> 繼續(xù) C, 輸出了第八行, 執(zhí)行完畢!

如此看來, 遞歸函數(shù)還是很費內(nèi)存的(有時不如直接使用循環(huán)), 但的確很巧妙.

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