一、基本內容：

　　C語言中的函數可以遞歸調用，即：可以直接（簡單遞歸）或間接（間接遞歸）地自己調自己。
　　要點：
　　1、C語言函數可以遞歸調用。
　　2、可以通過直接或間接兩種方式調用。目前只討論直接遞歸調用。

二、遞歸條件

　　采用遞歸方法來解決問題，必須符合以下三個條件：
　　1、可以把要解決的問題轉化為一個新問題，而這個新的問題的解決方法仍與原來的解決方法相同，只是所處理的對象有規律地遞增或遞減。
　　說明：解決問題的方法相同，調用函數的參數每次不同（有規律的遞增或遞減），如果沒有規律也就不能適用遞歸調用。
　　2、可以應用這個轉化過程使問題得到解決。
　　說明：使用其他的辦法比較麻煩或很難解決，而使用遞歸的方法可以很好地解決問題。
　　3、必定要有一個明確的結束遞歸的條件。
　　說明：一定要能夠在適當的地方結束遞歸調用。不然可能導致系統崩潰。

三、遞歸實例

　　例：使用遞歸的方法求n!
　　當n>1時，求n!的問題可以轉化為n*(n-1)!的新問題。
　　比如n=5：
　　第一部分：5*4*3*2*1 n*(n-1)!
　　第二部分：4*3*2*1 (n-1)*(n-2)!
　　第三部分：3*2*1 (n-2)(n-3)!
　　第四部分：2*1 (n-3)(n-4)!
　　第五部分：1 （n-5）! 5-5=0，得到值1，結束遞歸。
　　源程序：

四、遞歸說明

　　1、當函數自己調用自己時，系統將自動把函數中當前的變量和形參暫時保留起來，在新一輪的調用過程中，系統為新調用的函數所用到的變量和形參開辟另外的存 儲單元（內存空間）。每次調用函數所使用的變量在不同的內存空間。
　　2、遞歸調用的層次越多，同名變量的占用的存儲單元也就越多。一定要記住，每次函數的調用，系統都會為該函數的變量開辟新的內存空間。
　　3、當本次調用的函數運行結束時，系統將釋放本次調用時所占用的內存空間。程序的流程返回到上一層的調用點，同時取得當初進入該層時，函數中的變量和形參 所占用的內存空間的數據。
　　4、所有遞歸問題都可以用非遞歸的方法來解決，但對于一些比較復雜的遞歸問題用非遞歸的方法往往使程序變得十分復雜難以讀懂，而函數的遞歸調用在解決這類 問題時能使程序簡潔明了有較好的可讀性；但由于遞歸調用過程中，系統要為每一層調用中的變量開辟內存空間、要記住每一層調用后的返回點、要增加許多額外的 開銷，因此函數的遞歸調用通常會降低程序的運行效率。

五、程序流程

這個函數是一個遞歸函數。但是運行該函數將無休止地調用其自身，這當然是不正確的。為了防止遞歸調用無終止地進行，必須在函數內有終止遞歸調用的手段。常用的辦法是加條件判斷，滿足某種條件后就不再作遞歸調用，然后逐層返回。下面舉例說明遞歸調用的執行過程。

【例8.5】用遞歸法計算n!

用遞歸法計算n!可用下述公式表示：
    n!=1         (n=0,1)
    n×(n-1)!    (n>1)
按公式可編程如下：
long ff(int n)
{
    long f;
    if(n<0) printf("n<0,input error");
    else if(n==0||n==1) f=1;
    else f=ff(n-1)*n;
    return(f);
}

main()
{
    int n;
    long y;
    printf("/ninput a inteager number:/n");
    scanf("%d",&n);
    y=ff(n);
    printf("%d!=%ld",n,y);
}

程序中給出的函數ff是一個遞歸函數。主函數調用ff 后即進入函數ff執行，如果n<0,n==0或n=1時都將結束函數的執行，否則就遞歸調用ff函數自身。由于每次遞歸調用的實參為n-1，即把n-1的值賦予形參n，最后當n-1的值為1時再作遞歸調用，形參n的值也為1，將使遞歸終止。然后可逐層退回。

下面我們再舉例說明該過程。設執行本程序時輸入為5，即求5!。在主函數中的調用語句即為y=ff(5)，進入ff函數后，由于n=5,不等于0或1，故應執行f=ff(n-1)*n,即f=ff(5-1)*5。該語句對ff作遞歸調用即ff(4)。

進行四次遞歸調用后，ff函數形參取得的值變為1，故不再繼續遞歸調用而開始逐層返回主調函數。ff(1)的函數返回值為1，ff(2)的返回值為1*2=2，ff(3)的返回值為2*3=6，ff(4)的返回值為6*4=24，最后返回值ff(5)為24*5=120。

例8.5也可以不用遞歸的方法來完成。如可以用遞推法，即從1開始乘以2，再乘以3…直到n。遞推法比遞歸法更容易理解和實現。但是有些問題則只能用遞歸算法才能實現。典型的問題是Hanoi塔問題。

【例8.6】Hanoi塔問題
    一塊板上有三根針，A，B，C。A針上套有64個大小不等的圓盤，大的在下，小的在上。如圖5.4所示。要把這64個圓盤從A針移動C針上，每次只能移動一個圓盤，移動可以借助B針進行。但在任何時候，任何針上的圓盤都必須保持大盤在下，小盤在上。求移動的步驟。

本題算法分析如下，設A上有n個盤子。

如果n=1，則將圓盤從A直接移動到C。

如果n=2，則：
      1.將A上的n-1(等于1)個圓盤移到B上；
      2.再將A上的一個圓盤移到C上；
      3.最后將B上的n-1(等于1)個圓盤移到C上。

如果n=3，則：
      A. 將A上的n-1(等于2，令其為n`)個圓盤移到B(借助于C)，步驟如下：
          (1)將A上的n`-1(等于1)個圓盤移到C上。
          (2)將A上的一個圓盤移到B。
          (3)將C上的n`-1(等于1)個圓盤移到B。
      B. 將A上的一個圓盤移到C。
      C. 將B上的n-1(等于2，令其為n`)個圓盤移到C(借助A)，步驟如下：
          (1)將B上的n`-1(等于1)個圓盤移到A。
          (2)將B上的一個盤子移到C。
          (3)將A上的n`-1(等于1)個圓盤移到C。

 到此，完成了三個圓盤的移動過程。

從上面分析可以看出，當n大于等于2時，移動的過程可分解為三個步驟：
      第一步  把A上的n-1個圓盤移到B上；
      第二步  把A上的一個圓盤移到C上；
      第三步  把B上的n-1個圓盤移到C上；其中第一步和第三步是類同的。

當n=3時，第一步和第三步又分解為類同的三步，即把n`-1個圓盤從一個針移到另一個針上，這里的n`=n-1。 顯然這是一個遞歸過程，據此算法可編程如下：
move(int n,int x,int y,int z)
{
    if(n==1)
      printf("%c-->%c/n",x,z);
    else
    {
      move(n-1,x,z,y);
      printf("%c-->%c/n",x,z);
      move(n-1,y,x,z);
    }
}
main()
{
    int h;
    printf("/ninput number:/n");
    scanf("%d",&h);
    printf("the step to moving %2d diskes:/n",h);
    move(h,'a','b','c');
}

    從程序中可以看出,move函數是一個遞歸函數，它有四個形參n,x,y,z。n表示圓盤數，x,y,z分別表示三根針。move 函數的功能是把x上的n個圓盤移動到z上。當n==1時，直接把x上的圓盤移至z上，輸出x→z。如n!=1則分為三步：遞歸調用move函數，把n-1個圓盤從x移到y；輸出x→z；遞歸調用move函數，把n-1個圓盤從y移到z。在遞歸調用過程中n=n-1，故n的值逐次遞減，最后n=1時，終止遞歸，逐層返回。當n=4 時程序運行的結果為：
    input number:
    4
    the step to moving 4 diskes:
    a→b
    a→c
    b→c
    a→b
    c→a
    c→b
    a→b
    a→c
    b→c
    b→a
    c→a
    b→c
    a→b
    a→c
    b→c