題目：

計算斐波那契數列。具體什么是斐波那契數列，那就是0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

要求：

時間復雜度盡可能少

分析：

給出了三種方法：

方法1：遞歸的方法，在這里空間復雜度非常大。如果遞歸層數非常多的話，在python里需要調整解釋器默認的遞歸深度。默認的遞歸深度是1000。我調整了半天代碼也沒有調整對，因為遞歸到1000已經讓我的電腦的內存有些撐不住了。

方法2：將遞歸換成迭代，這樣時間復雜度也在代碼中標注出來了。

方法3：這種方法利用了求冪的簡便性，采用了位運算。但是代價在于需要建立矩陣，進行矩陣運算。所以，當所求的數列的個數較小時，該方法還沒有第二種簡便。但是當取的索引值n超級大時，這種方法就非常方便了。時間復雜度在代碼中標注出來了。

代碼：

#!usr/bin/python2.7# -*- coding=utf8 -*-# @Time  : 18-1-3 下午2:53# @Author : Cecil Charlieimport sysimport copysys.setrecursionlimit(1000) # 用來調整解釋器默認最大遞歸深度class Fibonacci(object):  def __init__(self):    pass  def fibonacci1(self, n):    '''      原始的方法，時間復雜度為 o(2**n)，因此代價較大    :param n: 數列的第n個索引    :return: 索引n對應的值    '''    if n < 1:      return 0    if n == 1 or n == 2:      return 1    return self.fibonacci1(n-1) + self.fibonacci1(n-2)  @staticmethod  def fibonacci2(n):    """      用循環替代遞歸，空間復雜度急劇降低，時間復雜度為o(n)    """    if n < 1:      return 0    if n == 1 or n == 2:      return 1    res = 1    tmp1 = 0    tmp2 = 1    for _ in xrange(1, n):      res = tmp1 + tmp2      tmp1 = tmp2      tmp2 = res    return res  def fibonacci3(self, n):    """      進一步減少迭代次數，采用矩陣求冪的方法，時間復雜度為o(log n)，當然了，這種方法需要額外計算矩陣，計算矩陣的時間開銷沒有算在內.其中還運用到了位運算。    """    base = [[1, 1], [1, 0]]    if n < 1:      return 0    if n == 1 or n == 2:      return 1    res = self.__matrix_power(base, n-2)    return res[0][0] + res[1][0]  def __matrix_power(self, mat, n):    """      求一個方陣的冪    """    if len(mat) != len(mat[0]):      raise ValueError("The length of m and n is different.")    if n < 0 or str(type(n)) != "<type 'int'>":      raise ValueError("The power is unsuitable.")    product, tmp = [], []    for _ in xrange(len(mat)):      tmp.append(0)    for _ in xrange(len(mat)):      product.append(copy.deepcopy(tmp))    for _ in xrange(len(mat)):      product[_][_] = 1    tmp = mat    while n > 0:      if (n & 1) != 0: # 按位與的操作，在冪數的二進制位為1時，乘到最終結果上，否則自乘        product = self.__multiply_matrix(product, tmp)      tmp = self.__multiply_matrix(tmp, tmp)      n >>= 1    return product  @staticmethod  def __multiply_matrix(mat1, mat2):    """      矩陣計算乘積    :param m: 矩陣1，二維列表    :param n: 矩陣2    :return: 乘積    """    if len(mat1[0]) != len(mat2):      raise ValueError("Can not compute the product of mat1 and mat2.")    product, tmp = [], []    for _ in xrange(len(mat2[0])):      tmp.append(0)    for _ in xrange(len(mat1)):      product.append(copy.deepcopy(tmp))    for i in xrange(0, len(mat1)):      for j in xrange(0, len(mat2[0])):        for k in xrange(0, len(mat1[0])):          if mat1[i][k] != 0 and mat2[k][j] != 0:            product[i][j] += mat1[i][k] * mat2[k][j]    return productf = Fibonacci()print f.fibonacci1(23)print f.fibonacci2(23)mat1 = [[2,4,5],[1,0,2],[4,6,9]]mat2 = [[2,9],[1,0],[5,7]]print f.fibonacci3(23)